INTEGRALI

L’integrale è una operazione matematica mediante la quale è possibile calcolare l’area di una superficie anche se essa non è delimitate da una linea retta, ma ha un profilo curvilineo che segue l’andamento di una funzione.

Mediante un ingegnoso artificio si è ottenuto un potentissimo strumento matematico di calcolo.

Nella prima parte del corso vedremo insieme questo artificio che consiste nel sommare tantissime piccolo aree rettangolari di base infinitesima.

Poi impareremo ad integrare tutte le funzioni semplici ottenendo le primitive. Siamo qui nell’ambito degli integrali indefiniti. Procederemo insieme alla scoperta dei vari metodi di integrazione.

Dapprima esploreremo l’integrale per sostituzione in cui un “blocco” in x viene sostituito da un diverso “blocco” in t e il differenziale dx viene sostituito da un corrispondente differenziale in dt. Questa sostituzione consente la risoluzione dell’integrale e al termine dell’integrazione si ritorna alla variabile originale x.

Successivamente andremo ad analizzare il metodo di integrazione per parti. Una funzione di cui non è noto l’integrale immediato viene moltiplicata di solito per un’altra funzione di cui si conosce invece l’integrale immediato. Grazie alla formula risolutiva si possono integrare facilmente funzioni come il logaritmo e l’arcotangente ad esempio.

Vedremo di seguito il calcolo di integrali composti da una frazione in cui abbiamo un polinomio al numeratore e un polinomio al denominatore.

Ti renderai conto sulla tua pelle che alcuni integrali richiedono un certo ingegno per essere risolti, un guizzo di intuizione supplementare. Per questo è stata coniata l’espressione “derivare è meccanico, integrare è un’arte”.

Dall’integrale indefinito passeremo poi ad apprendere come calcolare l’integrale definito tra due estremi ben precisi di un intervallo.

Nell’ultima parte vedremo come calcolare l’area del segmento parabolico e come si calcolano I volumi dei solidi di rotazione attorno all’asse x e attorno all’asse y con gli integrali.

A volte negli esercizi che riguardano uno studio di funzione viene richiesta come ultimo punto questo tipo di calcolo.

Infine, daremo qualche accenno alla funzione integrale che ha fatto capolino nei temi d’esame della maturità scientifica di qualche anno fa.

Da un punto di vista matematico l’operazione di integrazione è l’opposto della operazione di derivazione.

In fisica grandezze quali lo spazio, la velocità e la accelerazione sono collegate tra loro dalle operazioni di derivazione o di integrazione mediante le quali è possibile ricavare le une dalle altre.