DERIVATE

Ogni grandezza, ogni funzione può subire delle variazioni. L’entità di queste variazioni è l’essenza stessa del concetto di derivata.

In questo corso sulle derivate vedremo insieme che cosa significa la frase “limite del rapporto incrementale”. Comprenderai la differenza fra valutare l ‘incremento di una funzione seguendo il grafico della funzione stessa e invece valutarlo seguendo la retta tangente alla funzione nel punto.

Dopo questa prima parte concettuale, ci addentreremo nelle regole pratiche di derivazione delle funzioni. Dapprima vedremo come si derivano le funzioni semplici e di seguito quelle composte.

Sarai in grado di derivare qualsiasi funzione ti venga posta innanzi.

Al termine della parte di calcolo comprenderemo come il calcolo delle derivate di una funzione è legato a doppia mandata ai massimi e minimi (estremanti) di una funzione.

Ti ricordo che in ogni studio di funzione la ricercar di massimi e minimi è un punto chiave.

Ci aprirà la strada in questa “selva selvaggia” Il teorema di Fermat che ci indica dove andare a cercare I massimi e I minimi di una funzione.

A seguire il Teorema di Rolle e il Teorema di Lagrange ci presenteranno delle caratteristiche chiave delle funzioni che se presenti ci consentiranno di poter fare affermazioni in merito alla esistenza di punti speciali nell’intervallo di definizione della funzione nei quali la derivata assume valori ben precisi.

Last but not least, in presenza di un rapporto tra due funzioni f e g di cui non si riesce a calcolare il limite ci viene in aiuto il Teorema di De L’Hospital che, sotto precise ipotesi tutte da verificare, ci consente di spostarci dal calcolo di questo limite al calcolo del rapporto tra f’ e g’ (ovvero le loro derivate).

Proseguendo con il corso vedremo come esistono derivate di ordine superiore al primo, cioè secondo terzo ordine etc…, e come per esempio la derivate seconda abbia un significato molto particolare per lo studio di una funzione: infatti lo studio delle derivate seconda ci consentirà di calcolare i punti di flesso. Tali punti sono speciali perché in essi avviene il cambio della concavità di una funzione, da convessa passiamo a concave o viceversa da concave passiamo a convessa. Per dirla con una metafora la funzione passa dal ridere (immagina uno smile) al piangere (immagina uno smile rovesciato verso il basso)!

Proseguendo nel corso affronteremo l’argomento della formula di Taylor.

Comprenderai come sia possibile approssimare il valore di una funzione in un intervallo attorno ad un punto preciso con un polinomio. Questo polinomio ha come primo termine il valore della funzione nel punto preciso (centro dell’intervallo) ed è seguito da una infinità di termini che sono il prodotto tra una derivata di ordine crescente e un incremento elevato ad una potenza crescente.

Mano a mano che l’esponente cresce il peso del termine della serie perde di importanza.

Questa potentissima scoperta che apre le porte a molti altre applicazioni in matematica ti sarà finalmente chiara.

Il passo successivo saranno i punti di non derivabilità.

Comprenderemo cosa significa per una funzione essere derivabile oppure no in un punto.

Esploreremo insieme il concetto di punto angoloso per poi passare al concetto di flesso a tangente verticale.

Da ultimo ci attende il concetto di cuspide con il quale chiuderemo il ciclo sui punti di non derivabilità di una funzione.

Le derivate sono un pilastro imprescindibile per la preparazione allo scritto della maturità scientifica!

Molti quesiti dei temi di maturità degli anni precedenti contenevano domande sulle derivate o su qualcuno dei teoremi che ho citato qui nel testo.