In questo corso vedremo le equazioni e le disequazioni di secondo grado.
In primo luogo, vedremo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado che ci consente di trovare quali siano I due numeri reali (se esistono) che sono soluzione della equazione di secondo grado. I due numeri, cioè le due soluzioni potrebbero essere reali e distinti, oppure reali coincidenti oppure potrebbero non esistere nell’insieme dei numeri reali.
Questo dipende dal segno di una quantità chiamata DELTA che non è altro che b2 – 4ac ove a, b sono i coefficienti rispettivamente della x2 della x e c è il termine noto.
Se il DELTA è positivo le due soluzioni sono le due soluzioni sono reali distinte. Se il DELTA è uguale a zero allora le due soluzioni sono reali coincidenti. Se il DELTA è minore di zero allora non esistono soluzioni reali. Ogni equazione di secondo grado è in realtà rappresentabile graficamente con una parabola. Questa parabola può avere la concavità rivolta verso l’alto (a>0 ride) o la concavità rivolta verso il basso (a<0 piange). Le soluzioni sono i punti in cui la parabola taglia l’asse delle x (se lo taglia). Se la parabola è tangente all’asse x allora le due soluzioni diventano una sola soluzione doppia che algebricamente corrisponde al DELTA=0.
Ti ricordo che il DELTA =0 fa sì che l’espressione di secondo grado sia un quadrato perfetto, ragion per cui le due soluzioni sono coincidenti. Se la parabola non taglia mai l’asse delle x significa che non ci sono soluzioni e questo algebricamente corrisponde al DELTA<0.
Esistono poi dei piccoli trucchetti riguardanti le soluzioni x1 e x2 che vedremo in cui la somma delle soluzioni è = -b/a mentre il prodotto delle soluzioni è =c/a .
Questo sarà molto utile negli esercizi in cui ci verranno chieste condizioni su un parametro fornendo vincoli sulla somma o il prodotto delle soluzioni.
Passeremo poi alle disequazioni di secondo grado che si basano fortemente su tutto l’impianto teorico che abbiamo appena visto per le equazioni, ma vanno oltre.
Infatti, dire che una espressione di secondo grado è >0 significa chiedere graficamente per quali valori di x una parabola si trova al di sopra dell’asse delle x. All’opposto se la espressione fosse <0 significa chiedere per quali valori di x una parabola si trova sotto l’asse delle x. O si ottengono valori di x compresi tra le soluzioni si dice interni alle soluzioni o si ottengono valori di x esterni alle soluzioni.
Questa regola si configura nell’acronimo DICE (Discordi Interni Concordi Esterni).
Una volta approfonditi insieme questi aspetti faremo un ultimo passo considerando il trinomio speciale e quali “trucchetti” utilizzare per trovare a mente le due radici che siano somma e prodotto delle soluzioni.
